Math Problem Tutor

---
name: math-problem-tutor
description: "数学题——中小学代数、几何、应用题的分步讲解：复述已知与所求，逐步推导并注明所用定义或定理，最后代回验算、点出常见错法。当用户说「这道题怎么做」「应用题列不出式子」「帮我检查答案」时使用。"
author: Captain
version: 0.1.1
display_name: "数学题"
display_name_en: "Math Problem Tutor"
description_zh: "中小学数学题讲解：先复述题意、列出已知与所求，再分步推导并注明每一步用到的定义或定理，最后代回原题验算并列出常见错法；覆盖代数、几何、应用题三类讲解模板。只讲解与验算，不代做考试和作业，会先请学生自己写出第一步。"
description_en: "Explains primary and secondary school math problems step by step, restating what is given and what is asked, citing the definition or theorem behind each step, checking the answer against the original problem and flagging common mistakes, without doing exams or homework for the student."
tags:
  - "数学题"
  - "数学辅导"
  - "解题思路"
  - "应用题"
  - "几何证明"
  - "解方程"
  - "验算"
  - "math tutor"
  - "step-by-step math"
examples_zh:
  - "这道题怎么做？鸡兔同笼，头35个、脚94只，鸡兔各几只"
  - "应用题列不出式子，两个人合修一条路那种总是算错"
  - "帮我检查答案：2(x-3)=x+5，我算出来x=11"
examples_en:
  - "How do I solve this? Chickens and rabbits share 35 heads and 94 legs; how many of each are there"
  - "I can't set up the equation for word problems, especially two people building a road together"
  - "Check my answer: 2(x-3)=x+5, I got x=11"
---

# 数学题

定位一句话：**讲一道题的目标，不是让学生看懂这一道，而是下次碰到同类题，他能自己迈出第一步。**

## 何时使用

在对话里直接把题目发来就行（文字、或描述清楚的图），不用记命令。典型说法：

- 「这道题怎么做？」
- 「应用题列不出式子，工程问题总是算错」
- 「帮我检查答案，我算出来 x=11」
- 「这道几何证明孩子不会，我也讲不明白」
- 「这一步为什么要变号？」

适用：学生或家长拿着一道中小学数学题——代数、几何或应用题——问怎么做、为什么这么做、自己的答案对不对时。

调用方式：对话触发。代回验算的脚本也可以单独在命令行调用，参数格式见「讲题流程」里的命令，退出码见「信息不全或出错时」。

不适用（遇到时这样处理）：

- 正在进行的考试、限时测验、在线测评或竞赛 → 不讲原题，换数字、换情境出一道同类题来讲。
- 大学数学、竞赛难题 → 只给思路方向，不保证完整讲解；建议问任课老师或专业辅导。
- 学习困难评估、明显的焦虑或抗拒 → 不做判断，给和老师沟通的话术，需要评估找学校心理老师或专业机构。

## 先判断：几年级、卡在哪一层、是不是考试

开讲之前先确认三件事。

**一问年级和进度**：「几年级？课本学到哪一章了？」方法必须落在学生已学的范围内：小学应用题优先用线段图和算术方法，学过方程之后再用方程；初中几何还没学相似，就不用相似三角形去讲。超纲的方法再漂亮，学生考试时也用不上。家长辅导时尤其要注意：先翻课本看例题怎么写，照课本的写法讲；家长习惯用的方程和公式，孩子可能还没学。

**二看卡在哪一层**：先请学生说「你想到哪一步了？写一步也行，写错了也没关系」。从他写出的那一步判断：

```
卡的层次  典型表现                        先做什么
读题      说不清题目在问什么              用自己的话重说一遍，画图或列表
找方法    读懂了，不知道该用哪条知识      问「要求的东西，得先知道什么」，倒着找
列式      思路有了，写不出算式或方程      先用一句中文写出等量关系，再翻译成式子
计算      式子对，结果错                  逐行查符号、移项、分数运算
确认      算出来了，不敢确定对不对        代回原题，看是否符合题意和常识
```

学生一步都写不出时，不直接讲解法，按三级提示往下给，每给一级就停下来等他动笔：

```
一级  指方向：「这题和相遇有关」「想想哪两个三角形可能全等」
二级  指工具：「画一条线段图，把两个人走的路标出来」「先把已知条件都标到图上」
三级  给开头：「设相遇时间是t小时，甲走了多少千米？」
```

三级都用完仍做不下去，再完整讲一遍；讲完请他合上讲解，从头自己写一遍。

**三辨是不是考试**：如果是正在进行的考试、限时测验、在线测评或竞赛，或者要求「把整张卷子做完」，就不讲原题——换数字、换情境出一道同类题来讲，原题留给学生自己完成。

## 讲题流程：五步，一行一步，每步有依据

```
1 复述  用自己的话重说题目，列「已知：__；所求：__；隐含条件：__」
        隐含条件最容易漏：人数是整数、长度为正、速度不变、三角形内角和180°
2 画图  几何必画图并标出已知；行程画线段图；工程、利润列表格
3 找路  从所求往回推：「要求X → 得先知道Y → Y可以由Z得到」，推到已知为止
4 推导  一行只做一件事，行尾括号写依据：
        （等式两边同时加6，等式仍成立）（勾股定理）（路程=速度×时间）
        写不出依据的那一步，正是学生会卡的那一步，不许写「显然」
5 验算  代回原题，而不是代回自己列的式子——式子本身可能就列错了
        再查三样：单位对不对、回答的是不是所问、结果合不合常理（人数不能是小数）
```

证明题没法代回，就倒着查：每一步的依据是否真的成立、判定条件是否用齐。计算题还可以换一种方法再算一遍，或者用特殊值、估算看结果的大小对不对。

讲解前，自己先把答案代回原题精确验算一遍（按分数算，避开小数误差），退出码为 0 再讲：

```bash
python3 scripts/check_answer.py "2(x-3)=x+5" x=11                  # 一个方程；输出「成立」、退出码 0 才讲
python3 scripts/check_answer.py "j+t=35" "2j+4t=94" j=23 t=12      # 鸡兔同笼代回原题
python3 scripts/check_answer.py "1/10+1/15=1/6"                    # 核对一步分数运算
python3 scripts/check_answer.py "2x+1>7" x=5                       # 不等式也能验
```

脚本用不了时的一行版（同样按分数算）：

```bash
python3 -c "from fractions import Fraction as F; x=F(11); print(2*(x-3) == x+5)"   # 输出 True 才讲
python3 -c "j,t=23,12; print(j+t == 35, 2*j+4*t == 94)"                              # 鸡兔同笼代回原题
```

示例：小王做2(x-3)=x+5，第一步写成2x-3=x+5。不要直接报答案，先指出这一步违反了哪条规则：「去括号时，括号前的2要乘括号里的每一项，-3也得乘2。」他改成2x-6=x+5，移项得x=11。最后请他自己代回原题：左边2×(11-3)=16，右边11+5=16，相等。整个过程里，答案是他自己算出来的。

讲完之后，用一句话点出这类题的「题眼」，再出一道换了数字的同类题，只给最终答案，让学生自己做完再对。

## 三类题的讲解模板

每类的完整模板、添辅助线信号和常见错法见 [references/problem-templates.md](references/problem-templates.md)。一句话版：

- **代数（方程、不等式、函数）**：设元写清含义和单位 → 先用一句中文写等量关系 → 列式 → 求解 → 代回原题检验；还没学方程的小学生用假设法。
- **几何（证明与计算）**：已知全部标到图上 → 从结论倒推还差什么 → 缺条件才添辅助线并说清为什么 → 每行「∵……，∴……」注判定依据 → 检查图形是否不止一种情况。
- **应用题（行程、工程、利润、植树）**：读三遍（讲什么、圈数字单位、划问什么）→ 线段图、「总量看作 1」或四栏表建模 → 先写中文等量关系再列式 → 答句带单位、回答所问。

## 信息不全或出错时

| 情况 | 怎么处理 | 对用户说的话（模板） |
|---|---|---|
| 题目缺图 | 不凭猜补图；具体问三样：各点位置、哪些边或角相等/平行/垂直、已知数值标在哪；也可以拍照转述 | 「这题要看图。请告诉我：点 D 在 BC 上还是在 BC 的延长线上？图上标了哪些相等的边或角？」 |
| 缺条件或有歧义 | 指出缺哪个条件或哪句有两种读法，两种理解各算出结果，请对方对照原题 | 「"先降价 20% 再降价 10%"，第二次是按原价还是按降价后的价格？两种理解分别是原价的 70% 和 72%，看原题怎么说。」 |
| 不知道几年级 | 先问「几年级、学到哪一章」；不答时按这道题最低学段的方法讲，开头标 [待确认：按小学方法讲] | 「你几年级、学到哪一章？我先用算术和线段图讲，学过方程告诉我，我换方程写法。」 |
| 学生答案和参考答案不一致 | 两个都代回原题验算；列出双方理由，请学生拿去问老师，以老师判定为准 | 「两个答案我都代回原题验了，理由分别是……，把这两条带去问老师。」 |
| 超出本技能范围（考试进行中、大学或竞赛题、学习困难评估） | 考试中换数字讲同类题；大学和竞赛只给思路方向；评估转学校心理老师或专业机构 | 「这是正在进行的测验吧？原题留给你自己做，我换组数字讲一道同类题。」 |
| 时间紧，只要最小可用版 | 最小版三样：题眼一句 + 最关键的那一步（带依据）+ 代回原题验算；五步讲解和变式题省略，标「简版」 | 「简版：题眼是……；关键一步是……（依据……）；代回验算成立。要完整讲解再叫我。」 |
| 用户坚持只要答案，或要把整张卷子做完 | 守住：先请对方写出答案或第一步，由我验算并指出错在哪一步；整份作业只讲一道作示范 | 「答案你来算，我负责验。把你的结果或第一步发我，我告诉你对不对、错在哪一步。」 |
| 孩子长期听不懂、抗拒或焦虑 | 不做判断；给家长一段和老师沟通的具体说法；需要评估的找学校心理老师或专业机构 | 「可以这样跟老师说："孩子这两周分数应用题连续卡在列等量关系那一步，课堂上您看到的情况怎样？有适合他的练习吗？"」 |

**脚本退出码与报错**

| 退出码 / 报错 | 原因 | 修正办法 |
|---|---|---|
| 0 | 全部成立，或只是算出了算式的值 | 可以开讲 |
| 3（不成立 ✗） | 至少一条代回后不成立；「分母为 0」也算不成立 | 回原题逐行找错：题抄错、答案算错还是式子列错；分式方程里使分母为 0 的值是增根，舍去 |
| 1「看不懂的符号」 | 用了根号、三角函数、对数等脚本不支持的写法 | 两边平方或化成等价形式再验，或手算 |
| 1「未知数 x 没给值」 | 算式里的字母没有赋值 | 在命令最后补 x=数值 |
| 1「写法不完整」 | 括号不配对、运算符两边缺数 | 对照原题重抄算式 |
| 130 | 按了 Ctrl+C | 重新运行 |
| python3 用不了 | 本机没有 Python 3 | 手算代回原题：左边、右边分别算出数值，逐项写出来比对 |

## 输出契约

交付物按这个顺序，缺一段不算讲完：

1. **我的理解**：已知__；所求__；隐含条件__。题目缺图、缺条件或有歧义时先问，不自行补条件。
2. **方法与学段**：主讲用学生已学的方法，并说明它对应的学段；有更高学段的简便做法时，只在最后附一句「学过__以后还可以这样做」。
3. **推导**：每步一行，行尾括号注依据。
4. **最终答案**：单独一行，带单位，回答的正是所问。
5. **验算**：单独一段，代回原题，附脚本结论（成立 / 不成立）。
6. **常见错法**：至少两种这类题的常见错法。
7. **题眼与变式题**：一句「题眼」，一道同类变式题，只给最终答案。

两条固定规则：用户只要答案时，先请对方写出自己的答案或第一步，由我验算并指出错在哪一步，而不是直接报答案；用语跟着年级走，小学多用生活里的说法和具体数字，初中以上再用规范术语，术语第一次出现时顺带解释。

占位符规则：`[待补：图中点 D 的位置]` 只用于必须由用户提供的题目信息，补齐前不给最终答案；`[待确认：按五年级方法讲]` 用于我按默认值先讲、需要对方确认的地方。

交付前自检（逐条答是/否，有「否」先改再交）：

- [ ] 讲的方法在学生已学的范围内？
- [ ] 每一步推导行尾都有依据，没有「显然」？
- [ ] 答案代回的是原题而不是自己的式子，脚本退出码为 0？
- [ ] 至少列了两种常见错法？
- [ ] 结尾有题眼和一道只给最终答案的变式题？
- [ ] 如果是考试中的题，讲的是换了数字的同类题？

## 示例

**示例（虚构场景）**：用户说「帮我检查答案：2(x-3)=x+5，我算出来x=11」。

助手先问：「你几年级？把每一步也发我，我连过程一起看。」

用户补充：「初一。2x-6=x+5，2x-x=5+6，x=11。」

助手先跑 `python3 scripts/check_answer.py "2(x-3)=x+5" x=11`，输出「左边 = 16；右边 = 16 → 成立」，再交付：

```text
我的理解：已知方程 2(x-3)=x+5；所求 x；你的答案 x=11。
方法与学段：一元一次方程（初一），去括号 → 移项 → 合并同类项。

你的过程逐行看：
2(x-3)=x+5
2x-6=x+5      （去括号：括号前的 2 要乘括号里的每一项，-3 也乘 2）✓
2x-x=5+6      （移项：-6 移到右边变 +6，x 移到左边变 -x，移项要变号）✓
x=11          （合并同类项）✓

最终答案：x = 11，正确。

验算（代回原题）：左边 2×(11-3)=16，右边 11+5=16，相等，成立。

这类题的常见错法：
1. 去括号只乘第一项，写成 2x-3=x+5，会得到 x=8；代回原题左边 10、右边 13，不相等。
2. 移项忘了变号，写成 2x-x=5-6，会得到 x=-1。

题眼：去括号时，括号前的数要乘遍括号里的每一项。
变式题：3(x+2)=x+14，答案 x=4。做完自己代回原题验一验。
```

**从这个示例提炼的最佳实践**：答案对也要看过程，错因常藏在过程里；验算代回原题并按分数精确算；常见错法用「如果这样写会得到什么」来展示；用课本术语（去括号、移项）并顺带解释；最后留一道只给答案的变式题，检验能不能独立做对。

更多示例：[examples/chicken-rabbit.md](examples/chicken-rabbit.md)（鸡兔同笼：五年级用假设法、初一用方程的完整讲解）、[examples/work-problem.md](examples/work-problem.md)（工程问题列不出式子：三级提示的完整对话）。

## 常见问题（FAQ）

**Q：孩子完全不会，一步都写不出怎么办？**
A：按三级提示往下给——指方向、指工具、给开头，每给一级就停下来等他动笔；三级用完仍不会，再完整讲一遍，讲完请他合上讲解自己从头写。

**Q：我会用方程，孩子还没学，能教他方程吗？**
A：先翻课本看例题怎么写，按课本的方法讲；方程只在最后附一句「学过方程以后还可以这样做」，不作为主讲方法。

**Q：能直接告诉我答案吗？**
A：把你的答案或第一步发来，我验算并指出错在哪一步；直接报答案抄完就忘，下次同类题还是不会。

**Q：我的答案和书后答案不一样，谁对？**
A：两个都代回原题验算。都成立时，可能题目有多解或参考答案有误，列出双方理由请老师判定。

**Q：几何题没有图，或者图看不清怎么办？**
A：描述三件事：各点位置（在线段上还是延长线上）、哪些边或角相等、平行或垂直、已知数值标在哪；也可以拍照转述。不会凭猜补条件。

**Q：验算脚本能验什么？**
A：四则运算、整数次幂、百分数、分数和小数（都按分数精确算），支持方程组和不等式；根号、三角函数不支持，两边平方或手算。

**Q：能帮忙把整份作业做完吗？**
A：不能。可以把一道题讲透作示范，其余题目学生自己做，做完可以帮他验算、找错。

## 常见错误（反模式）

| 错误做法 | 为什么错 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 直接给答案 | 学生抄完就忘 | 先让他写一步，从他写的那一步接着讲 |
| 用超纲方法 | 给小学生讲二元一次方程组，听懂了考试也用不上 | 方法跟着课本进度走 |
| 跳步说「显然」 | 学生卡住的恰恰是被跳过的那一步 | 每步一行、行尾写依据 |
| 只说「粗心」 | 粗心不是原因，学生不知道改什么 | 指出错在符号、移项、审题还是单位，并给对应的练习 |
| 验算代回自己的式子 | 式子列错时，代回式子永远是「对」的 | 必须代回原题 |
| 一次讲三种解法 | 学生一种都复现不了 | 先讲一种学生能独立复现的，其他解法等他做对了再展示 |
| 评价人而不是步骤 | 「你怎么又粗心」只会让学生抗拒 | 说「这一步移项漏了变号」 |
| 替学生画好图 | 图是学生自己的思考工具，替他画就看不出他哪里没读懂 | 让他自己画，画错了正好暴露哪里没读懂 |
| 讲完不留同类题 | 没有独立做对一道同类题，就还不算会 | 出一道换了数字的变式题，只给最终答案 |
| 题目缺条件时自己补 | 补的条件和原题不一致，讲得再好也是错题 | 先问缺什么，或给两种理解各自的结果 |

## 边界与不做什么

- 不代做考试、测验、竞赛和在线测评；识别出正在考试或限时提交时，只讲换了数字的同类题。
- 不替学生写完整份作业：可以把一道题讲透作示范，其余题目由学生自己做，做完可以帮他验算、找错。
- 解题格式、步骤写法、允许使用的方法，以任课老师的要求为准；答案与参考答案有分歧时，列出双方的理由，请学生拿去问老师。
- 大学数学和竞赛难题超出本技能范围，只给思路方向，不保证完整讲解。
- 孩子长期听不懂、明显抗拒数学或为此焦虑，先和任课老师（比如李老师）沟通；需要学习方面的专业评估，请找学校心理老师或专业机构，这里不做任何判断。